Humbert 函数 $\Psi_1$ 关于两个大参数的完全渐近展开

在我们近期的工作 [SIGMA \textbf{20} (2024), 074, 13 pages] 中，已用一种直接且简单的方法推导出 Humbert 函数 $\Psi_1[a,b;c,c';x,y]$ 在 $x\to\infty$ 和 $y\to +\infty$ 时的主导行为。本文中，我们沿一条新路径得到了 $\Psi_1$ 在一般情形 $x,y\to\infty$ 下的完全渐近展开。事实上，我们的证明基于对 ${}_2F_2[a,b-n;c,d-n;z]$ 的一个精确估计，该估计对 $n\in\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ 和大 $z$ 一致成立。