振荡希尔伯特变换的渐近展开与快速计算

本文研究单边振荡希尔伯特变换的渐近性与快速计算，其形式为 $$H^{+}(f(t)e^{i\omega t})(x)=-\int_{0}^{\infty}e^{i\omega t}\frac{f(t)}{t-x}dt,\qquad \omega>0,\qquad x\geq 0,$$ 其中横线表示柯西主值，f是一个在第一象限具有解析延拓的实值函数，原点处可能除外，该点允许存在代数型分支点。当x=0时，若积分发散，则将其解释为哈达玛有限部分积分。针对每个固定的x≥0，推导了按ω负幂次展开的渐近展开式，阐明了该变换在大ω时的行为。随后，我们提出了高效且经济的数值计算方法来评估此类振荡变换。根据x的位置，我们将讨论分为三种情形：x=O(1)或x≫1，0<x≪1以及x=0。数值实验表明，当频率ω增大时，所提方法的收敛性显著提高。还简要讨论了含贝塞尔振荡核的振荡希尔伯特变换的一些推广。