AGM水族箱与任意有限域上的椭圆曲线

在本文中，我们定义了任意有限域$\mathbb{F}_q$上的算术几何平均（AGM）函数的一个版本，并研究了由此产生的AGM图，其顶点为$(a,b) \in \mathbb{F}_q \times \mathbb{F}_q$，有向边连接点$(a,b)$与$(\frac{a+b}{2},\sqrt{ab})$以及$(a,b)$与$(\frac{a+b}{2},-\sqrt{ab})$。该图中的点自然地与Legendre标准型下的$\mathbb{F}_q$上椭圆曲线相关联，AGM函数定义了相关曲线之间的2-同源。我们利用这种对应关系证明了关于AGM图中连通分量的结构、大小和重数的若干结果。