算术-几何平均值与高代数曲线的同构

高斯算术-几何平均值的计算涉及一个简单的迭代步骤，其代数几何解释是构造与给定椭圆曲线同构的椭圆曲线，具体而言，是其周期数为原周期数两倍的椭圆曲线。高阶椭圆曲线的类比应涉及显式构造其雅可比与给定曲线雅可比同构的曲线。周期矩阵的翻倍意味着该同构的核应是雅可比中二阶点群的拉格朗日子群。在 genus=2 的情况下，这一构造由 Humbert 经典给出，后由 Bost 和 Mestre 进行了研究。在本文中，我们给出一般 genus=3 曲线的此类构造。我们还给出针对 genus=3 超椭圆曲线的类似但更简洁的构造。我们证明超椭圆构造是一般构造的退化情况，并证明诱导同构在雅可比上的核是二阶点的拉格朗日子群。我们指出对于 g≥4 不存在类似的构造，并在我们的框架下重新阐释了 genus=2 的情况。我们这些对应关系的构造使用了熟悉于普尔姆 Variety 理论中的 bigonal 与 trigonal 构造。