具有给定点数的亏格 2 曲线及其 Jacobian
数论
2019-02-20 v3 代数几何
摘要
我们研究了在有限域 F 上高效构造亏格 2 曲线 C 的问题，使得曲线 C 本身或其 Jacobian 具有预设的 F-有理点数 N。针对 Jacobian 的情形，我们证明了任何用于生成所需亏格 2 曲线的"CM-构造"必然需要关于输入规模指数级的时间。另一方面，我们提供了一种算法，用于构造具有给定点数的亏格 2 曲线，该算法在启发式意义上对大多数输入值仅需多项式时间。我们通过构造一个恰好拥有 10^2014 + 9703（素数）个点的亏格 2 曲线，以及两个各恰好拥有 10^2013 个点的亏格 2 曲线，展示了该算法的实际适用性。在附录中，我们给出了特征不为 2 或 3 的任意基域 k 上，所有具有到椭圆曲线的 k-有理 3 次映射的亏格 2 曲线族的完整参数化，其中包括这些亏格 2 曲线、相关椭圆曲线以及 3 次映射的公式。
引用
@article{arxiv.1403.6911,
title = {Genus-2 curves and Jacobians with a given number of points},
author = {Reinier Bröker and Everett W. Howe and Kristin E. Lauter and Peter Stevenhagen},
journal= {arXiv preprint arXiv:1403.6911},
year = {2019}
}
备注
Made a number of clarifications and corrected some typographical errors