经典高斯求积公式的快速精确计算

本文提出了计算经典高斯求积法则（Gauss–Jacobi、Gauss–Laguerre 和 Gauss–Hermite）的算法，这些算法基于全局收敛的四阶迭代方法并结合渐近近似，在参数空间的互补区域中应用。该方法在速度、精度和计算范围上均优于现有算法。用于 Gauss–Jacobi 的 MATLAB 算法比以往方法更快，并解除了这些方法对参数施加的上限（$\alpha,\beta\le 5$）；例如，对于高达 $10^6$ 的阶数，在 $-1<\alpha,\beta\le 30$ 范围内，所有节点和权重均可在下溢极限内计算，而对于更低的阶数，参数的可计算范围更大，仅受限于固有的上溢/下溢约束。对于 Gauss–Legendre 求积（$\alpha=\beta=0$）的特殊情况，我们考虑了一种特定的渐近方法，这产生了迄今为止最高效的 MATLAB 实现。Gauss–Laguerre 和 Gauss–Hermite 算法结合了子采样，并且还提供了缩放功能以扩展计算范围。本文还考虑了 Gauss–Radau 和 Gauss–Lobatto 变体，以及相关重心权重的计算。此外，为对称情况（Gauss–Gegenbauer 和 Gauss–Hermite）提供了任意精度算法（在 Maple 中），可在数秒内计算具有数百位精度的数千个节点。