准几何均值与准几何类型均值之间的各种不等式

本文考虑了在$0<\alpha<1$, $p>0$和正半定矩阵$A,B\ge0$的情况下，准扩展$\mathcal{A}_{\alpha,p}(A,B):=((1-\alpha)A^p+\alpha B^p)^{1/p}$对$\alpha$-加权算术矩阵均值的扩展，以及准扩展$\mathcal{M}_{\alpha,p}(A,B):=\mathcal{M}_\alpha(A^p,B^p)^{1/p}$对若干不同$\alpha$-加权几何类型矩阵均值$\mathcal{M}_\alpha(A,B)$的扩展，如Kubo和Ando意义下的$\alpha$-加权几何均值、Fiedler和Pt\'ak的光谱几何均值的两种$\alpha$-加权版本，以及R\'enyi均值和$\alpha$-加权Log-Euclidean均值。对于这些，我们检验了算术-几何类型的不等式$\mathcal{A}_{\alpha,p}(A,B)\triangleleft\mathcal{A}_{\alpha,q}(A,B)$和$\mathcal{M}_{\alpha,p}(A,B)\triangleleft\mathcal{A}_{\alpha,q}(A,B)$，其中$\triangleleft$是从最强的Loewner序到最弱的由trace不等式决定的序。对于上述每个不等式选择的情况，我们的目标是hopefully获得$\\p,q,\alpha$在$\\forall A,B\ge0$情况下使不等式成立的必要且充分条件。