三个矩阵乘积的算术-几何平均不等式

考虑以下非交换算术-几何平均不等式：给定半正定矩阵 $\mathbf{A}_1, \dots, \mathbf{A}_n$，对于每个整数 $m \leq n$，以下不等式成立：$$\frac{1}{n^m}\sum_{j_1, j_2, \dots, j_m = 1}^{n} ||| \mathbf{A}_{j_1} \mathbf{A}_{j_2} \dots \mathbf{A}_{j_m} ||| \geq \frac{(n-m)!}{n!} \sum_{\substack{j_1, j_2, \dots, j_m = 1 \ \text{all distinct}}}^{n} ||| \mathbf{A}_{j_1} \mathbf{A}_{j_2} \dots \mathbf{A}_{j_m} |||,$$ 其中 $||| \cdot |||$ 表示酉不变范数，包括算子范数和 Schatten p-范数作为特例。虽然该不等式在完全一般性上仍是一个猜想，但我们证明了该不等式对最多三个矩阵的乘积（$m \leq 3$）成立。$m = 1,2$ 的证明是直接的；为推导 $m=3$ 的证明，我们借助了经典的 Araki-Lieb-Thirring 不等式针对矩阵乘积排列的一个变体。