论算子的对称化算术-几何平均不等式

我们研究 Recht 与 R\'{e} 引入的对称化非交换算术几何平均不等式(AGM) $$\|\frac{(n-d)!}{n!}\sum\limits_{{ j_1,...,j_d \mbox{ different}} }A_{j_{1}}^*A_{j_{2}}^*...A_{j_{d}}^*A_{j_{d}}...A_{j_{2}}A_{j_{1}} \| \leq C(d,n) \|\frac{1}{n} \sum_{j=1}^n A_j^*A_j\|^d .$$ 作为 Recht 与 R\'{e} 结果的补充,我们在附加假设下找到了 C(d,n) 的上界。此外,利用自由概率,我们证明 $C(d, n) > 1$,从而反驳了 Recht 与 R\'{e} 最乐观的猜想。我们还证明了对称化-AGM 不等式的一个偏差结果,表明该对称不等式对许多类随机矩阵几乎成立。最后我们将结果应用于增量梯度法(IGM)。