Jensen不等式背后的宏大图景

设$I$和$J$为两个区间，设$f, g: I \rightarrow \mathbb{R}$。如果对于$I$中任意点$a$和$b$以及任意满足$p + q = 1$的正数$p$和$q$，我们有\n\begin{align} \nonumber p f(a) + q f(b) + g(pa + qb) \in J, \end{align}\n那么对于$I$中任意点$x_{1}, \ldots, x_{n}$以及任意满足$\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i} = 1$的正数$\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$，我们有\n\begin{align} \nonumber \sum_{i=1}^{n}\lambda_{i} f(x_{i}) + g\left( \sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}x_{i} \right) \in J. \end{align}\n若取$g = -f$且$J = [0, +\infty)$，则得到Jensen不等式。该结论仅是本文所展示的Jensen不等式背后宏大图景的一瞥。