关于固定变量个数的 Gini 平均值的比较

在本文中，我们考虑在正实数子区间 $I$ 上固定变量个数的 Gini 平均值的全局比较问题，即如下不等式 \begin{align}\tag{$\star$}\label{ggcabs} G_{r,s}^{[n]}(x_1,\dots,x_n) \leq G_{p,q}^{[n]}(x_1,\dots,x_n), \end{align} 其中 $n\in\mathbb{N}, n\geq 2$ 为固定值，$(p,q),(r,s)\in\mathbb{R}^2$，且 $x_1,\dots,x_n\in I$。给定 $\mathbb{R}_+$ 的非空子区间 $I$ 和 $n\in\mathbb{N}$，我们引入关系 $$\Gamma_n(I):=\{((r,s),(p,q))\in\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\mid \eqref{ggcabs}\mbox{ 对所有 } x_1,\dots,x_n\in I \mbox{ 成立}\},\qquad \Gamma_\infty(I):=\bigcap_{n=1}^\infty\Gamma_n(I).$$ 本文研究了这些集合的性质及其对 $n$ 和区间 $I$ 的依赖关系，并通过一种带约束的极小值问题及拉格朗日乘子法的变体对这些集合进行了刻画。文章末尾还提出了两个开放问题。