双变量 Gini 均值不变性方程的计算机辅助求解

我们的目标是在双变量 Gini 均值类 ${G_{p,q}:p,q\in\R}$ 中求解所谓的不变性方程，即寻找 6 个参数 $a,b,c,d,p,q$ 的充要条件，使得恒等式 [G_{p,q}\big(G_{a,b}(x,y),G_{c,d}(x,y)\big)=G_{p,q}(x,y) \qquad (x,y \in \R_+)] 成立。回顾可知，对于 $p\neq q$，Gini 均值 $G_{p,q}$ 定义为 [G_{p,q}(x,y):=(\dfrac{x^p+y^p}{x^q+y^q})^{\frac1{p-q}}\qquad (x,y \in \R_+).] 证明过程使用计算机代数系统 Maple V Release 9 计算高达 12 阶的泰勒展开，从而使我们能够描述等式成立的所有情况。