通过谱 invariants 方法计数三向联合表格

设 $\mathbf{T}_{\mathbf{a},\mathbf{b}}$ 为大小为 $m \times n \times p$ 的三向联合表格个数，其两个三平面边际和由 $\mathbf{a}=(a_1, \ldots, a_m) \in \mathbb{N}^m$ 和 $\mathbf{b}=(b_1, \ldots, b_n) \in \mathbb{N}^n$ 固定。当 $p=1$ 时，这是具有固定行和列和的 $m \times n$ 非负整数矩阵个数。本文通过谱 invariant 理论的视角研究数 $\mathbf{T}_{\mathbf{a},\mathbf{b}}$。设 $\mathcal{Q}^{p}_{m,n}$ 为 $p$ 完备二分谱图，拥有 $m$ 个源顶点、$n$ 个汇顶点，以及从每个源到每个汇的 $p$ 条箭头。设 $\mathbf{1}$ 表示 $\mathcal{Q}^{p}_{m,n}$ 在每个顶点的维数向量，$\theta_{\mathbf{a}, \mathbf{b}}$ 表示将第 $i$ 个源顶点分配给 $a_i$，将第 $j$ 个汇顶点分配给 $-b_j$ 的积分权重。我们首先将 $\mathbf{T}_{\mathbf{a},\mathbf{b}}$ 实现为与 $(\mathcal{Q}^{p}_{m,n}, \mathbf{1}, \theta_{\mathbf{a}, \mathbf{b}})$ 相关 semi-invariant 空间维数的实现。借助此连接和谱 invariant 理论方法，我们展示 $\mathbf{T}_{\mathbf{a},\mathbf{b}}$ 是一个抛物形 Kostka 系数。在 $p=1$ 的情况下，这恢复了具有固定行和列和的 $m \times n$ 联合表格公式，该公式在经典 2 向设置中也可通过 Robinson-Schensted-Knuth 对应关系获得。