双变量Stolarsky均值不变方程的计算机辅助求解

我们在双变量Stolarsky均值类$\{S_{p,q}:p,q\in\R\}$中求解所谓的不变方程，即找出6个参数$a,b,c,d,p,q$的充要条件，使得恒等式$S_{p,q}\big(S_{a,b}(x,y),S_{c,d}(x,y)\big)=S_{p,q}(x,y) \qquad (x,y \in \R_+)$成立。回顾一下，当$pq(p-q)\neq 0$且$x\neq y$时，Stolarsky均值$S_{p,q}$定义为$S_{p,q}(x,y):=(\dfrac{q(x^p-y^p)}{p(x^q-y^q)})^{\frac1{p-q}}$。在证明中，我们首先近似Stolarsky均值，并使用计算机代数系统Maple V Release 9计算该近似直至12阶的泰勒展开，从而描述所有相等情形。