广义 Bajraktarević 平均的局部与全局比较

本文旨在研究两个 $n$ 变量广义 Bajraktarević 平均的局部与全局比较，即就未知函数 $f,g,p_1,\dots,p_n,q_1,\dots,q_n:I\to\mathbb{R}$ 建立局部与全局意义下比较不等式 $$f^{-1}\bigg(\frac{p_1(x_1)f(x_1)+\cdots+p_n(x_n)f(x_n)}{p_1(x_1)+\cdots+p_n(x_n)}\bigg)\leq g^{-1}\bigg(\frac{q_1(x_1)g(x_1)+\cdots+q_n(x_n)g(x_n)}{q_1(x_1)+\cdots +q_n(x_n)}\bigg)$$ 的充要条件。此处 $I$ 为非空开实区间，$x_1,\dots,x_n\in I$，且假设 $f,g$ 连续、严格单调，$p_1,\dots,p_n,q_1,\dots,q_n:I\to\mathbb{R}_+$ 取正值。关于全局比较问题，本文的主要结果表明：若 $f,g$ 为具有非零一阶导数的可微函数，且对所有 $i\in\{1,\dots,n\}$ 满足 $$\frac{p_i}{p_0}=\frac{q_i}{q_0} \qquad\mbox{且}\qquad \frac{p_0(x)(f(x)-f(y))}{p_0(y)f'(y)} \leq\frac{q_0(x)(g(x)-g(y))}{q_0(y)g'(y)}\qquad(x,y\in I)$$ （其中 $p_0:=p_1+\dots+p_n$，$q_0:=q_1+\dots+q_n$），则上述比较不等式对一切 $x_1,\dots,x_n\in I$ 成立。