关于广义 Bajraktarević 均值在第一阶可微性假设下的等式性

本文我们考虑广义 Bajraktarević 均值的等值问题，即解方程 \begin{equation}\label{E0}\tag{*} f^{(-1)}\bigg(\frac{p_1(x_1)f(x_1)+\dots+p_n(x_n)f(x_n)}{p_1(x_1)+\dots+p_n(x_n)}\bigg)=g^{(-1)}\bigg(\frac{q_1(x_1)g(x_1)+\dots+q_n(x_n)g(x_n)}{q_1(x_1)+\dots+q_n(x_n)}\bigg), \end{equation} 其中 $n\geq 2$，$I$ 为非空开放实区间，未知函数 $f,g:I\to\mathbb{R}$ 为严格单调，$f^{(-1)}$ 和 $g^{(-1)}$ 分别为其广义左逆，向量值权重函数 $p=(p_1,\dots,p_n):I\to\mathbb{R}_{+}^n$ 和 $q=(q_1,\dots,q_n):I\to\mathbb{R}_{+}^n$ 也为未知。当 $n=2$ 且 $p_1=p_2$，$q_1=q_2$（即对称双变量情形）时，Losonczi 在 1999 年在六阶光滑性假设下求解了此等价问题。该论文的作者于 2023 年通过仅假设第一阶可微性改进了此结果。在非对称情形下，假设 $f$、$g$ 和至少三组 $p_1,\dots,p_n$ 的第三阶可微性和其余函数的第一阶可微性，Gr"unwald 和 P\'ales 证明了 \eq{0} 当且仅当存在四个常数 $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ 且 $ad\neq bc$，使得 $$cf+d>0,\qquad g=\frac{af+b}{cf+d},\qquad\mbox{且}\qquad q_\ell=(cf+d)p_\ell\qquad (\ell\in\{1,\dots,n\}).$$ 本文的主要目标是在第一阶可微性下建立相同结论。