算术函数的 $\mathcal I(<q)$- 与 $\mathcal I(\leq q)$-收敛

令 $\mathbb N$ 为正整数集，并记 $\lambda(A)=\inf\{t>0:\sum_{a\in A} a^{-t}<\infty\}$ 为 $A\subset\mathbb N$ 的收敛指数。对 $0<q\le 1$、$0\le q\le 1$，分别地，由所有满足 $\lambda(A)<q$、$\lambda(A)\le q$ 的 $A\subset \mathbb N$ 组成的容许理想 $\mathcal I(<q)$、$\mathcal I(\leq q)$ 满足 $\mathcal I(<q)\subsetneq\mathcal I_c^{(q)}\subsetneq \mathcal I(\leq q)$，其中 $\mathcal I_c^{(q)}=\{A\subset\mathbb N: \sum_{a\in A}a^{-q}<\infty\}$。在本注记中，我们利用 $\mathcal I(<q)$- 与 $\mathcal I(\leq q)$-收敛（为此发展了新方法与判据） sharpen Bal\'az、Gogola 与 Visnyai 在 [2] 中以及其他论文中关于各类算术函数的 $\mathcal I_c^{(q)}$-收敛的 $q$ 表征的结果。