q-三元组可能代数基础的推广

所谓的 $q$-三元组 ($q$-triplets) 于 2004 年被猜想，随后于 2005 年在自然界中发现。2005 年取得了重要进一步进展，当时有人提出它们可能反映一个基于自对偶关系 $q \to 2-q$（加性对偶，additive duality）和 $q \to 1/q$（乘性对偶，multiplicative duality）组合的整体无限代数。整个代数坍缩到单一不动点 $q=1$，对应于玻尔兹曼-吉布斯熵和统计力学。对于 $q \ne 1$，出现无限的 $q$ 指标集，原则上对应于给定复杂系统的无限多个物理性质，这些性质可用所谓的 $q$-统计 ($q$-statistics) 描述。提出的基本思想是，对于给定系统的普适类，存在少数（通常为一或二）独立的 $q$ 指标，其余无限多个通过简单地使用该代数关系由这几个得到。$q$-三元组似乎构成了该代数的几个中心元素。在过去的十年中，大量的 $q$-三元组已在自然、人工和社会系统的解析、计算、实验和观测结果中展现。其中一些确实满足仅由加性和乘性对偶构建的现有代数，但另一些似乎违反它。在本工作中，我们推广这两个对偶，希望能在其中处理更广的系统集合。推广的基础由自对偶关系 $q \to q_a(q) \equiv \frac{(a+2) -aq}{a-(a-2)q} \,\, (a \in {\cal R})$ 给出。我们验证 $q_a(1)=1$，且 $q_2(q)=2-q$ 和 $q_0(q)=1/q$。为从物理上动机化这一推广，我们简要回顾 $q$-统计的说明性应用，以展示当前广义代数可能有用的候选者。