线性GMRES收敛性关于紧扰动的稳定性

设希尔伯特空间上的线性有界算子 $B$ 至少具有线性 GMRES 收敛性，即存在 $M_B<1$，使得对每个初值残差 $r_0$ 和步数 $k\in\mathbb{N}$，GMRES 残差满足 $\|r_k\|\leq M_B\|r_{k-1}\|$。我们证明，对于紧扰动算子 $A=B+C$，GMRES 满足界 $\|r_k\|/\|r_0\|\leq\prod_{j=1}^k\bigl(M_B+(1+M_B)\,\|A^{-1}\|\,\sigma_j(C)\bigr)$，即奇异值 $\sigma_j(C)$ 控制着相对于无扰动问题界的偏离。该结果可视为对 [I. Moret, A note on the superlinear convergence of GMRES, SIAM J. Numer. Anal., 34 (1997), pp. 513-516, https://doi.org/10.1137/S0036142993259792] 的推广，其中仅考虑了 $B=\lambda I$ 的情形。在此特殊情形下 $M_B=0$，所得收敛为超线性。