图谱化GMRES的数值稳定性

我们对预条件图谱化GMRES [Nakatsukasa and Tropp, SIAM J. Matrix Anal. Appl, 2024] 求解线性系统 $Ax=b$ 进行后向稳定性分析，表明第 $i$ 次迭代的后向稳定性取决于Krylov基 $B_{1:i}$ 的条件数，只要 $A B_{1:i}$ 的条件数可被界定为 $1/O(u)$，其中 $u$ 为单位舍入误差。 在此条件下，我们表明只要 $B_{1:i}$ 的条件数不至于过大，图谱化GMRES即可实现后向稳定性。 在额外假设下，我们进一步表明，重启实现的图谱化GMRES的稳定性可独立于 $B_{1:i}$ 的条件数，且重启图谱化GMRES是后向稳定的。我们还推导出更精确的界限，更好地捕捉当基 $B_{1:i}$ 极度不良条件时可达到的后向误差，尽管文献中已观察到此现象，但尚未从理论上解释。我们 presented numerical experiments 以演示我们分析的结论，同时也表明，在恰当情况下自适应重启可让我们恢复图谱化GMRES的后向稳定性。