面向任意奇异系统的右预条件 GMRES

Brown 与 Walker（1997）证明，GMRES 对 $A x = b$ 确定最小二乘解，其中 $A \in {\bf R}^{n \times n}$，对任意 $b, x_0 \in {\bf R}^n$ 均无中断，当且仅当 $A$ 是值域对称的，即 ${\cal R} (A^{\rm T}) = {\cal R} (A)$，其中 $A$ 可为奇异矩阵且 $b$ 可不在 $A$ 的值域空间 ${\cal R} A)$ 中。本文提出将 GMRES 应用于 $A C A^{\rm T} z = b$，其中 $C \in {\bf R}^{n \times n}$ 为对称正定矩阵。这可对任意（奇异）矩阵 $A \in {\bf R}^{n \times n}$ 与 $b \in {\bf R}^n$ 确定 $A x = b$ 的最小二乘解 $x = CA^{\rm T} z$ 而无中断。为使方法数值稳定，我们提出在求解 GMRES Arnoldi 过程中出现的严重病态 Hessenberg 系统时，使用带适当阈值参数的伪逆以抑制微小奇异值的影响，此类系统出现于求解不一致值域对称系统时。数值实验表明，取 $C$ 为单位矩阵以及取 $C$ 为对角元为 $A A^{\rm T}$ 对角元的对角矩阵之逆时，即便 $A$ 非值域对称（包括 ${\rm index}(A) >1$ 的情形）也能给出最小二乘解。