通过具有前向与后向稳定的低精度右预处理 GMRES 求解适定性线性系统的最优解

应用中的线性系统通常是适定的，但系数矩阵可能近乎奇异，即条件数 $\kappa(\boldsymbol{A})$ 可能接近 $1/\varepsilon_{w}$，其中 $\varepsilon_{w}$ 表示工作精度的单位舍入误差。众所周知，如果 $\kappa(\boldsymbol{A})$ 充分小于 $1/\varepsilon_{w}$ 且残差以更高精度计算，迭代精化（IR）可使前向误差独立于 $\kappa(\boldsymbol{A})$。我们提出一种称为前向与后向稳定最小残差（FBSMR）的新迭代方法，从概念上将右预处理 GMRES（RP-GMRES）与拟最小化相混合。我们基于一个称为本质前向与后向稳定性（EFBS）的新理论框架发展 FBSMR，该框架扩展了后向误差分析以考虑适定问题的内在条件数。我们通过在更高精度下评估算法的一小部分、同时在更低精度下评估预条件子，来稳定 RP-GMRES 中的前向与后向误差以实现 EFBS。对于具有未污染矩阵的适定问题，FBSMR 可就前向与后向误差二者实现最优精度，且独立于 $\kappa(\boldsymbol{A})$。借助低精度预处理，FBSMR 相比带或不带 IR 的直接方法可降低计算、内存和能耗需求。FBSMR 还能在 Arnoldi 迭代中利用并行友好的经典 Gram-Schmidt 而不损害 EFBS。我们使用随机和真实线性系统展示了 FBSMR 的有效性。