代数逆快速多极方法：一种优于基于 HODLR 快速直接求解器的快速直接求解器

本文提出一种称为代数逆快速多极方法（以下简称 AIFMM）的快速直接求解器，用于求解由 $N$ 体问题产生的线性系统。AIFMM 基于以下三个主要思想：(i) $N$ 体问题对应矩阵中的某些子块可高效表示为低秩矩阵；(ii) 利用上述矩阵中的低秩子块构造扩展稀疏线性系统；(iii) 在求解扩展稀疏线性系统时，消去阶段产生的某些填充元被表示为低秩矩阵，并通过其他变量“重定向”以维持零填充稀疏性。本文的主要亮点如下：(i) 我们的方法完全代数化（不同于现有的逆快速多极方法~\cite{arXiv:1407.1572,doi:10.1137/15M1034477,TAKAHASHI2017406}，以下简称 IFMM）。我们依赖新的嵌套交叉近似~\cite{arXiv:2203.14832}（以下简称 NNCA）来表示 $N$ 体问题产生的矩阵。(ii) 一个显著贡献是，本文提出的算法比现有 IFMM 更高效。在现有 IFMM 中，填充元一经产生即被压缩与重定向；而本文中，我们先在不影响计算复杂度的前提下更新填充元，仅进行一次压缩与重定向。(iii) 另一值得注意的贡献是，我们将 AIFMM 与基于分层离对角低秩（以下简称 HODLR）的快速直接求解器以及由 NNCA 驱动的 GMRES 快速迭代求解器进行了比较。(iv) 此外，AIFMM 还被演示用作预条件子。