一种基于 ADMM 的内点法用于大规模线性规划
最优化与控制
2020-07-03 v2
摘要
我们提出一个新的框架来实现内点法（IPM）以求解超大规模线性规划（LP）。传统 IPM 通常在每次迭代中使用牛顿法来近似求解一个旨在最小化对数障碍罚函数的子问题。由于与牛顿法的联系，IPM 常被归类为二阶方法——这一类方法以可扩展性的代价换取了稳定性与准确性。确实，计算牛顿步等价于求解一个大型线性系统，若输入数据规模适中、和/或稀疏、和/或结构良好，则可高效实现。然而，若上述前提不成立，传统 IPM 仍面临挑战。应对该挑战的一种方法是应用迭代过程（如预条件共轭梯度法）来求解线性系统。由于每次迭代的线性系统不同，难以找到良好的预条件子以实现整体求解效率。本文提出一种替代方法。我们不再使用牛顿法，而是在齐次自对偶嵌入 LP 模型的原始-对偶路径跟踪框架下，借助交替方向乘子法（ADMM）在每次迭代中近似最小化对数障碍罚函数。所得算法为一种基于 ADMM 的内点法，本文中简称为 ABIP。新方法从 IPM 继承了稳定性，从 ADMM 继承了可扩展性。由于其自对偶嵌入结构，ABIP 可在无需先验可行性知识的情况下求解任意 LP。我们开展了大量数值实验，用来自 NETLIB 和机器学习应用的大规模 LP 测试 ABIP。结果表明 ABIP 优于现有 LP 求解器，包括 SDPT3、MOSEK、DSDP-CG 和 SCS。
引用
@article{arxiv.1805.12344,
title = {An ADMM-Based Interior-Point Method for Large-Scale Linear Programming},
author = {Tianyi Lin and Shiqian Ma and Yinyu Ye and Shuzhong Zhang},
journal= {arXiv preprint arXiv:1805.12344},
year = {2020}
}