论 $s$-步 GMRES 的向后稳定性

通信（即数据移动）是经典 Krylov 子空间方法求解器在现代计算机架构上性能的关键瓶颈。现已引入避免通信的此类方法变体，它们在精确算术下等价，但在有限精度下可能不稳定。在本工作中，我们探讨了 $s$-步 GMRES（亦称避免通信 GMRES）的向后稳定性。与 [A.~Buttari, N.~J.~Higham, T.~Mary, \& B.~Vieubl\'e. 2024 年预印本.] 中提出的“模块化框架”相比，我们提出了一个改进的框架以简化 $s$-步 GMRES 的分析（包含标准 GMRES ($s=1$) 作为特例），其方法是将 QR 分解与最小二乘问题求解中的舍入误差效应隔离开来。该新框架的关键优势在于，正交化方法如何影响向后误差变得显而易见，且在修改 GMRES 中使用的正交化方法时，无需重新评估正交化本身以外的任何内容。利用此框架，我们分析了采用流行分块正交化方法的 $s$-步 GMRES：分块修正 Gram--Schmidt 与重正交化分块经典 Gram--Schmidt 算法。一个示例说明了 $s$-步 GMRES 与经典 $s$-步 Arnoldi 过程配对时产生的不稳定性，并展示了解决此不稳定性的流行策略的局限性。为解决此问题，我们提出了一种改进的 $s$-步 Arnoldi 过程，允许使用大得多的分块大小 $s$ 同时保持令人满意的精度，这一点已由我们的数值实验证实。