重正交化分块经典 Gram-Schmidt 算法的一种稳定单同步变体

分块经典 Gram-Schmidt（BCGS）算法及其重正交化变体是计算分块列 $X$ 的经济型 QR 分解的广泛使用方法，因为与修正 Gram-Schmidt 和 Householder QR 等其他方法相比，它们的通信成本更低。为了进一步减少通信，即同步，长期以来一直在寻找一种重正交化 BCGS 变体，它在每个分块列仅需一个同步点即可实现 $O(u)$ 的正交性损失，其中 $u$ 表示单位舍入误差。利用勾股内积和延迟归一化技术，我们提出了第一个可证明稳定的单同步重正交化 BCGS 变体，证明在条件 $O(u) \kappa^2(X) \leq 1/2$ 下它具有 $O(u)$ 的正交性损失，其中 $\kappa(\cdot)$ 表示条件数。通过引入一个额外的同步点，我们开发了一个双同步重正交化 BCGS 变体，它在改进的条件 $O(u) \kappa(X) \leq 1/2$ 下保持 $O(u)$ 的正交性损失。随后提出了一种自适应策略来结合这两种变体，在限制较宽松的条件 $O(u) \kappa(X) \leq 1/2$ 下确保 $O(u)$ 的正交性损失，同时使用尽可能少的同步点。作为这种自适应方法有益的一个例子，我们展示了使用自适应正交化变体，$s$-步 GMRES 实现了与 BCGSI+（也称为 BCGS2）的 $s$-步 GMRES 相当的后向误差，无论是理论上还是数值上，但所需的同步点更少。