Sherman-Morrison 公式的不稳定性及其通过迭代细化的稳定化

鉴于其简单性和效率，Sherman-Morrison（SM）公式在解决形式为 $(A+uv^T)x = b$ 的秩一扰动线性系统方面广泛应用于各种科学和工程领域。尽管该公式至少可追溯至 1944 年，其数值稳定性特性仍是开放问题，持续受到当前研究的关注。我们分析了 SM 的后向稳定性，展示了在科学计算中日益常见的情景下的不稳定性，并回应了 Nick Higham 对 SM 后向误差界是否与矩阵 $A$ 的条件数成正比的开放问题。随后，我们将固定精度迭代细化纳入 SM 框架，复用先前计算的分解，并在合理假设下证明其在不牺牲 SM 公式效率的前提下实现后向稳定。虽然我们的理论无法证明 SM 公式在迭代细化下始终输出后向稳定解，但我们在所有数值实验中观察到其最终会产生后向稳定解。我们推测，在迭代细化下，若矩阵 $A$ 和 $A+uv^T$ 的条件数 $\kappa_2$ 均被安全地保持在 $\epsilon_M^{-1}$ 之内（其中 $\epsilon_M$ 为机器单位舍入误差），则 SM 公式可产生后向稳定解。