任意递减的循环收敛曲线对于重启GMRES都是可能的

给定一个矩阵阶数 $n$，一个重启参数 $m$ ($m < n$)，一个递减的正序列 $f(0) > f(1) > ... > f(q) \geq 0$，其中 $q < n/m$，证明存在一个 $n \times n$ 矩阵 $A$ 和一个向量 $r_0$ 满足 $\|r_0\|=f(0)$，使得 $\|r_k\|=f(k)$，$k=1,...,q$，其中 $r_k$ 是应用重启参数为 $m$ 的重启GMRES于线性系统 $Ax=b$ 时，第 $k$ 个循环的残差，初始残差为 $r_0=b-Ax_0$。此外，矩阵 $A$ 可以被选择为具有任何期望的特征值。我们还可以构造任意的停滞情况；即，当 $f(0) > f(1) > ... > f(i) = f(i+1) \geq 0$ 对于任意 $i <q$。重启参数可以是固定的或可变的。