重启 Anderson 加速对特定正规线性系统的渐近收敛性

Anderson 加速 (AA) 被广泛用于加速底层不动点迭代 $\bm{x}_{k+1} = \bm{q}( \bm{x}_{k} )$, $k = 0, 1, \ldots$ 的收敛，其中 $\bm{x}_k \in \mathbb{R}^n$, $\bm{q} \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$。尽管 AA 应用广泛，但理论上对其能在多大程度上加速底层不动点迭代的理解相对较少。为此，我们分析了重启规模为 1 的重启 AA 变体，该方法与 GMRES(1) 密切相关。我们考虑 $\bm{q}( \bm{x} ) = M \bm{x} + \bm{b}$ 的情形，其中矩阵 $M \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 为对称或反对称。对于这两类 $M$，我们计算了 AA 方法的最坏情况根平均渐近收敛因子，在对称情形部分依赖猜想，证明了该因子严格小于底层不动点迭代的收敛因子。对于对称 $M$，我们证明 AA 残差迭代对应于求解一个依赖于特征向量的非线性特征值问题 (NEPv) 的不动点迭代，并展示了这如何导致收敛因子强烈依赖于初始迭代，我们在某些特殊情况下对此进行了精确量化。反之，对于反对称 $M$，我们证明 AA 残差迭代与 $M$ 的幂迭代密切相关，以及这如何导致收敛因子独立于初始迭代。给出了支持性的数值结果，这些结果也表明该理论适用于更一般的非线性 $\bm{q}$ 情形，只要其在不动点处的 Jacobian 矩阵为对称或反对称。