Anderson加速改善线性收敛不动点法收敛速率（但不改善二次收敛情形）的证明
数值分析
2019-02-22 v2
摘要
本文首次给出了 Anderson 加速（AA）改善一般不动点迭代收敛速率的证明。几十年来，AA 已被用于加速许多应用中的非线性求解器，然而对其改善收敛速率的严格数学论证一直缺失。此处分析的关键思想是将连续迭代之差与基于在 Hilbert 空间设定下执行内优化的残差相关联，并显式地将优化阶段的增益定义为相对于一步未加速不动点迭代的改善之比。我们证明的主要结果是，AA 在每一步以增益为因子将不动点迭代的一阶收敛速率改善。除了改善收敛速率外，我们的结果表明 AA 增大了收敛半径。最后，我们的估计表明，虽然线性收敛速率得到了改善，但估计中出现了额外的二次型项，这说明了为何 AA 通常不能改善二次收敛不动点迭代的收敛。给出了若干数值测试结果以阐明该理论。
引用
@article{arxiv.1810.08455,
title = {A proof that Anderson acceleration improves the convergence rate in linearly converging fixed point methods (but not in those converging quadratically)},
author = {Claire Evans and Sara Pollock and Leo G. Rebholz and Mengying Xiao},
journal= {arXiv preprint arXiv:1810.08455},
year = {2019}
}