单参数分段等距族的重正化

我们考虑菱形的单参数分段等距族。其旋转分量是固定的，且其系数属于二次数域 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$。平移依赖于参数 $s$，该参数允许在一个区间内变化。我们研究了可重正化性。我们表明，在适当子域上首回映射的递归构造最终会产生该域的一个缩小副本，但具有重正化后的参数 $r(s)$。重正化映射 $r$ 是广义 L"uroth 型映射 $f$（高斯映射的分段仿射版本）的二次迭代。我们表明，精确自相似性对应于 $f$ 的最终周期点，且此类参数值正是位于给定区间内的域 $K$ 的元素。重正化过程由一个图组织。图中存在十个不同的重正化情景，对应于同样数量的闭合回路。沿其中某些回路进行归纳的过程涉及中间映射随参数变化而经历无限多次分岔。我们的证明依赖于计算机辅助。