一个在重整化下周期的圆上的分段线性同胚

我们证明存在一个 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 的分段线性同胚 $f$，它将有理数映射到有理数，其斜率为 $\frac{2}{3}$ 的幂，且其旋转数为 $\sqrt{2}-1$。这是通过证明当将重整化过程应用于 $f$ 时该过程变为周期性的来实现的。我们的构造对 D. Calegari 的一个问题给出了否定回答。结合第二、第三作者的工作，我们的结果还表明 $F_{\frac{2}{3}}$ 不嵌入到 $F$ 中，其中 $F_{\frac{2}{3}}$ 是由斜率为 $\frac{2}{3}$ 的幂的那些元素组成的 Stein-Thompson 群 $F_{2,3}$ 的子群。最后，我们给出了一些证据，暗示对 Calegari 问题的一个变体给出肯定回答，并记录了一些计算观察。