二区间分段仿射映射与Hecke-Mahler级数的动力学

设 $f : [0,1)\rightarrow [0,1)$ 是一个 $2$-区间分段仿射递增映射，它是单射但非满射。这样的映射 $f$ 具有一个旋转数，并可由三个实数参数化。借助依赖于这些参数的两个特定函数 $\delta$ 和 $\phi$，我们完全显式地给出了 $f$ 的动力学，其定义涉及Hecke-Mahler级数。作为一个应用，我们证明当三个参数为代数数时，$f$ 的旋转数是有理数。