区间压缩旋转的旋转数

令 $0<\lambda<1$。我们考虑单参数族的圆 $\lambda$-仿射压缩 $f_\delta:x \in [0,1) \mapsto \lambda x + \delta \; {\rm mod}\,1$，其中 $0 \le \delta <1$。设 $\rho$ 为映射 $f_\delta$ 的旋转数。我们将给出 $\lambda,\delta$ 和 $\rho$ 值之间的一些数值关系，本质上使用了赫克-马勒级数和树结构。当两个参数 $\lambda$ 和 $\delta$ 均为代数数时，我们证明 $\rho$ 为有理数。此外，在 $\lambda$ 和 $\delta$ 均为有理数的情形下，我们在关于 $\lambda$ 的假设下给出 $\rho$ 的高度的一个显式上界。