区间分段压缩映射的动力学

我们研究了区间分段压缩映射迭代的渐近行为。已知由某些 Cherry 流在横截区间上诱导的 Poincaré 首返回映射，在拓扑共轭意义下，是分段压缩的。这些映射也出现在离散控制动力系统中，描述了采用某些决策策略的制造过程的时间演化。如果一个单射映射 $f:[0,1)\to [0,1)$ 存在将区间 $[0,1)$ 划分为 $n$ 个区间 $I_1,..., I_n$ 的划分，使得对于每个 $i\in\{1,...,n\}$，限制 $f|_{I_i}$ 对某个 $\kappa\in (0,1)$ 是 $\kappa$-Lipschitz 的，则称其为$n$个区间的{\it 分段压缩映射}。我们证明了任何 $n$ 个区间的分段压缩映射 $f$ 至多有 $n$ 个周期轨道。此外，我们证明了任何分段压缩映射都拓扑共轭于一个分段线性压缩映射。