区间的渐近周期分段压缩映射

我们考虑由有限族压缩映射定义的区间上一般单射分段压缩映射的迭代。设 $\phi_i:[0,1]\to (0,1)$ ($1\le i\le n$) 为 $C^2$-微分同胚，满足 $\sup_{x\in (0,1)} \vert D\phi_i(x)\vert<1$，且其像 $\phi_1([0,1]), \ldots, \phi_n([0,1])$ 两两不相交。设 $0<x_1<\cdots<x_{n-1}<1$，令 $I_1,\ldots, I_n$ 为将区间 $[0,1)$ 划分为子区间 $I_i$ 的分划，其中 $I_i$ 的内部为 $(x_{i-1},x_i)$，且 $x_0=0$，$x_n=1$。令 $f_{x_1,\ldots,x_{n-1}}$ 为由 $x\mapsto \phi_i(x)$ (当 $x\in I_i$ 时，$1\le i\le n$) 给出的映射。除其他结果外，我们证明了对于 Lebesgue 测度几乎处处的 $(x_1,\ldots,x_{n-1})$，分段压缩映射 $f_{x_1,\ldots,x_{n-1}}$ 是渐近周期的。