分段压缩映射的符号动力学

映射 $f{:}\,[0,1)\to [0,1)$ 被称为 $n$ 区间分段压缩映射（$n$-PC），如果存在 $0<\lambda<1$ 以及将 $[0,1)$ 划分为区间 $I_1,\ldots,I_n$ 的分割，使得对每个 $1\le i\le n$，$f\vert_{I_i}$ 是 $\lambda$-Lipschitz 的。定义在字母表 $\mathcal{A}=\{1,\ldots,n\}$ 上的无限字 $\theta=\theta_0\theta_1\ldots$ 是 $f$ 的自然编码，如果存在 $x\in I$ 使得 $\theta_k=i$ 当且仅当 $f^k(x)\in I_i$。我们证明，若 $\theta$ 是单射 $n$-PC 的自然编码，则 $\theta$ 的某个无限子字要么是周期的，要么同构于拓扑传递的 $m$-区间交换变换（$m$-IET）的自然编码，其中 $m\le n$。反之，每个拓扑传递的 $n$-IET 的自然编码也是某个单射 $n$-PC 的自然编码。