非扩张 $\Z^2$ 子动力学与 Nivat 猜想

对于有限字母表 $\A$ 和 $\eta\colon \Z\to\A$，Morse-Hedlund 定理指出 $\eta$ 是周期的，当且仅当存在 $n\in\N$ 使得块复杂度函数 $P_\eta(n)$ 满足 $P_\eta(n)\leq n$；该命题通常通过分析关联于 $\eta$ 的 $\Z$-作用的动力学进行研究。在二维情形下，我们分析了关联于 $\eta\colon\ZZ\to\A$ 的 $\ZZ$-作用的子动力学，并证明若存在 $n,k\in\N$ 使得 $n\times k$ 矩形复杂度 $P_{\eta}(n,k)$ 满足 $P_{\eta}(n,k)\leq nk$，则 $\eta$ 的周期性等价于关于该作用扩张子空间的某一命题。作为推论，我们证明若存在 $n,k\in\N$ 使得 $P_{\eta}(n,k)\leq \frac{nk}{2}$，则 $\eta$ 是周期的。这证明了词组合学中 Nivat 猜想的一个弱形式。