k-阿贝尔等价下 Morse-Hedlund 定理的变体

本文研究了一族新的、由 $k \in \Ni \cup \{+\infty\}$ 索引的无穷词复杂度函数中的局部到全局现象，其中 $\Ni$ 表示正整数集。对于 $A^*$ 中的两个有限词 $u$ 和 $v$，若对所有长度小于或等于 $k$ 的 $x \in A^*$，$x$ 在 $u$ 中出现的次数等于 $x$ 在 $v$ 中出现的次数，则称 $u$ 和 $v$ 是 $k$-阿贝尔等价的。这定义了 $A^*$ 上的一族等价关系 $\sim_k$，在通常的阿贝尔等价概念（当 $k = 1$ 时）与相等（当 $k = +\infty$ 时）之间架起了桥梁。给定一个无穷词 $w \in A^\omega$，我们考虑相关的复杂度函数 $\mathcal P^{(k)}_w : \Ni \rightarrow \Ni$，它统计 $w$ 的长度为 $n$ 的因子的 $k$-阿贝尔等价类的数目。总体而言，这些复杂度函数具有若干共同特征：每一个都在双无穷词的背景下给出了周期性的刻画，并且每一个都可在非周期单边无穷词的框架下用于刻画 Sturmian 词。然而，它们也表现出许多显著的差异，对这些差异的研究是本文的主要议题之一。