广义 Thue--Morse 词的 k 二项复杂度计算

两个有限词在每个长度至多为 $k$ 的子词（即子序列）出现次数相同的情况下称为 k 二项等价。无限词的 k 二项复杂度是将整数 $n\geq 0$ 映射到其长度 $n$ 因子所代表的 k 二项等价类的数的函数。Thue--Morse (TM) 词及其扩展到更大字母表的版本在数学中屡见不鲜，因为它们拥有丰富的组合属性。本 work 关注广义 TM 词的 k 二项复杂度。Lejeune、Leroy 和 Rigo 的先前研究确定了 2 字母 TM 词的 k 二项复杂度。对于更大的字母表，L"u、Chen、Wen 和 Wu 的工作确定了 m-letter TM 词的 2 二项复杂度，其中 $m$ 为任意值，但 $k\geq 3$ 的确切行为仍未解决。他们推测，m-letter TM 词的 k 二项复杂度函数在 $m^k$ 的周期下最终是周期函数。我们通过构造广义 TM 词的因子之间的 k 二项等价特征，正确地解决了该猜想。我们通过这种方法，除了解决该开放猜想外，还发展出了诸如 abelian Rauzy 图等工具。