关于 Abel 等价的推广与无限字的复杂性

在本文中,我们引入并研究了一族以 $k \in \ints ^+ \cup {+\infty}$ 为指标的无限字的复杂性函数。设 $k \in \ints ^+ \cup {+\infty}$ 且 $A$ 为有限非空集合。$A^*$ 中的两个有限字 $u$ 和 $v$ 被称为 $k$-Abel 等价的,如果对于所有长度小于或等于 $k$ 的 $x\in A^*$,$x$ 在 $u$ 中出现的次数等于 $x$ 在 $v$ 中出现的次数。这在 $A^*$ 上定义了一族等价关系 $\thicksim_k$,弥合了 Abel 等价的通常概念(当 $k=1$ 时)与相等(当 $k=+\infty$ 时)之间的差距。我们证明了长度为 $n$ 的字的 $k$-Abel 等价类的数量呈多项式增长,尽管其次数关于 $k$ 是指数的。给定无限字 $\omega \in A^\nats$,我们考虑相关的复杂性函数 $\mathcal {P}^{(k)}_\omega :\nats \rightarrow \nats$,它计算 $\omega$ 中长度为 $n$ 的因子的 $k$-Abel 等价类的数量。我们证明了复杂性函数 $\mathcal {P}^{(k)}$ 与周期性密切相关。更准确地说,我们定义了一个辅助函数 $q^k: \nats \rightarrow \nats$,并证明了如果对于某个 $k \in \ints ^+ \cup {+\infty}$ 和 $n\geq 0$ 有 $\mathcal {P}^{(k)}_{\omega}(n)<q^k(n)$,则 $\omega$ 是最终周期的。此外,如果 $\omega$ 是非周期的,则 $\mathcal {P}^{(k)}_{\omega}(n)=q^k(n)$ 当且仅当 $\omega$ 是 Sturmian 字。我们还结合字中的重复研究了 $k$-Abel 复杂性。利用 Szemer\'edi 定理,我们证明了如果 $\omega$ 具有有界的 $k$-Abel 复杂性,那么对于每个具有正上密度的 $D\subset \nats$ 以及每个正整数 $N$,都存在一个 $k$-Abelian $N$ 幂在 $\omega$ 中的某个位置 $j\in D$ 处出现。