论词的前缀因式分解

我们考虑所有无限词 $x\in A^\omega$ 在有限字母表 $A$ 上允许前缀因式分解的类 ${\cal P}_1$，即因式分解 $x= U_0 U_1U_2 \cdots$ 其中每个 $U_i$ 是 $x$ 的非空前缀。对每个 $x\in {\cal P}_1$ 自然关联一个“导出的”无限词 $\delta(x)$，它可能允许也可能不允许前缀因式分解。我们感兴趣的是类 ${\cal P}_{\infty}$ 包含所有 ${\cal P}_1$ 中词 $x$ 使得 $\delta^n(x) \in {\cal P}_1$ 对所有 $n\geq 1$。我们研究类 ${\cal P}_{\infty}$ 的主要动机源于它与无限词着色问题的联系，该问题由T. Brown在\cite{BTC}和第二作者在\cite{LQZ}独立提出。更精确地，令 ${\bf P}$ 为所有词 $x\in A^\omega$ 的类，使得对每个有限着色 $\varphi : A^+ \rightarrow C$ 存在 $c\in C$ 和因式分解 $x= V_0V_1V_2\cdots$ 满足对每个 $i\geq 0$ 有 $\varphi(V_i)=c$。在\cite{DPZ}中我们猜想词 $x\in {\bf P}$ 当且仅当 $x$ 是纯周期的。在本文中我们证明 ${\bf P}\subseteq {\cal P}_{\infty},$ 换言之，对我们猜想的反例的潜在候选者在 ${\cal P}_{\infty}$ 的非周期元素中。我们建立了关于类 ${\cal P}_{\infty}$ 的几个结果。特别地，我们证明Sturmian词 $x$ 属于 ${\cal P}_{\infty}$ 当且仅当 $x$ 是非奇异的，即 $x$ 的无真后缀是标准Sturmian词。