具有可判定一元理论的无穷与双无穷字

我们研究形如 $(D,<,P)$ 的字结构，其中 $D$ 为 $\mathbb{N}$ 或 $\mathbb{Z}$，$<$ 是 $D$ 上的自然线性序，且 $P\subseteq D$ 是 $D$ 上的谓词。我们特别地证明了：(a) 具有可判定一元二阶理论的递归 $\omega$-字集合是 $\Sigma_3$-完全的。(b) 已知的 $\omega$-字具有可判定一元二阶理论的刻画被转移到双无穷字的相应问题。(c) 我们证明这样的“驯顺”谓词 $P$ 存在于每个图灵度中。(d) 对 $P\subseteq\mathbb{Z}$，我们确定了满足 $(\mathbb{Z},\le,P)$ 与 $(\mathbb{Z},\le,Q)$ 不可区分的谓词 $Q\subseteq\mathbb{Z}$ 的个数。通过这些结果，我们展示了无穷字与双无穷字逻辑性质之间的相似与差异。