广义 Thue-Morse 词的 2-二项式复杂度

本文中，我们研究了每个整数 $m\geq 3$ 时广义 Thue-Morse 词 $\mathbf{t}_{m}$ 的 $2$-二项式复杂度 $b_{\mathbf{t}_{m},2}(n)$。我们得到了每个整数 $n\geq m^{2}$ 时 $b_{\mathbf{t}_{m},2}(n)$ 的精确值。由此推得，$b_{\mathbf{t}_{m},2}(n)$ 最终以 $m^{2}$ 为周期呈周期化。该结果部分回答了 M. Lejeune、J. Leroy 和 M. Rigo 的一个问题 [Computing the $k$-binomial complexity of the Thue-Morse word, J. Comb. Theory Ser. A, {\bf 176} (2020) 105284]。