关于 Morse-Hedlund 定理的群论推广

在 1938 年关于符号动力学的开创性论文中，Morse 和 Hedlund 证明了在一个非空有限字母表 $A$ 上的每个非周期无限字 $x\in A^N$ 都包含每个长度 $n$ 的至少 $n+1$ 个不同因子。他们进一步表明，无限字 $x$ 恰好有每个长度 $n$ 的 $n+1$ 个不同因子当且仅当 $x$ 是二元的、非周期且平衡的，即 $x$ 是 Sturmian 字。在本文中，我们通过群作用获得了 Morse-Hedlund 定理的一个广泛推广。给定对称群 $S_n$ 的一个子群 $G$，令 $1\leq \epsilon(G)\leq n$ 表示 $\{1,2,\ldots ,n\}$ 的不同 $G$-轨道的数目。由于 $G$ 是 $S_n$ 的子群，它通过置换作用于 $A^n=\{a_1a_2\cdots a_n\,|\,a_i\in A\}$。因此，给定一个无限字 $x\in A^N$ 和一个由子群 $G_n \subseteq S_n$ 组成的无穷序列 $\omega=(G_n)_{n\geq 1}$，我们考虑复杂度函数 $p_{\omega ,x}:N \rightarrow N$，它对每个长度 $n$ 计数在 $G_n$ 作用下 $x$ 的长度 $n$ 的因子的等价类数目。我们证明如果 $x$ 是非周期的，则对每个 $n\geq 1$ 有 $p_{\omega, x}(n)\geq\epsilon(G_n)+1$，而且，如果对每个 $n$ 取等号，则 $x$ 是 Sturmian 字。反之，设 $x$ 是一个 Sturmian 字。则对于 Abel 子群 $G_n \subseteq S_n$ 的每一个无穷序列 $\omega=(G_n)_{n\geq 1}$，存在 $\omega '=(G_n')_{n\geq 1}$ 使得对每个 $n\geq 1$：$G_n'\subseteq S_n$ 同构于 $G_n$ 且 $p_{\omega',x}(n)=\epsilon(G'_n)+1$。将上述结果应用于序列 $(Id_n)_{n\geq 1}$，其中 $Id_n$ 是 $S_n$ 的仅由恒等元组成的平凡子群，我们恢复了 Morse-Hedland 定理的两个方向。