无限字对称群序列

本文引入无限字对称群序列的新概念。给定对称群 $S_n$ 的一个子群 $G_n$，它通过置换作用于长度为 $n$ 的有限字集合。我们将一个无限字 $w$ 的对称群序列 $(G_n(w))_{n\geq 1}$ 与之关联：对每个 $n$，$w$ 的一个对称群是对称群 $S_n$ 的一个子群 $G_n(w)$，使得对每个置换 $g \in G_n(w)$ 以及 $w$ 的每个长度为 $n$ 的因子 $v$，$g(v)$ 都是 $w$ 的一个因子。我们研究无限字对称群的一般性质，并刻画若干类无限字的对称群序列。我们证明对 $S_n$ 的每个子群 $G$，存在一个无限字 $w$ 使得 $G_n(w)=G$。另一方面，可能的序列 $(G_n(w))_{n\geq 1}$ 的结构是相当受限的：我们证明它们不能对每个阶 $n$ 包含某些轮换、对换以及其他一些置换。对称群序列也可以刻画一种广义周期性质。我们证明 Sturmian 字以及更一般地 Arnoux-Rauzy 字的对称群对足够大的 $n$ 为二阶；另一方面，某些 Toeplitz 字的对称群呈指数增长。