具有限制圈长的若干独立随机置换中自由词的圈

在本文中，我们考虑可写为若干独立随机置换中自由词的随机置换：首先，我们在字母 $g_1,g_1^{-1},..., g_k,g_k^{-1}$ 中固定一个非平凡词 $w$；其次，对所有 $n$，引入 $\{1,..., n\}$ 上 $k$ 个独立随机置换的 $k$-元组 $s_1(n),..., s_k(n)$，我们所考虑的随机置换 $\sigma_n$ 是将 $w$ 中每个字母 $g_i$ 替换为 $s_i(n)$ 所得者。例如，对 $w=g_1g_2g_3g_2^{-1}$，$\sigma_n=s_1(n)\circ s_2(n)\circ s_3(n)\circ s_2(n)^{-1}$。此外，我们限制 $s_i(n)$ 的圈长可能取值集合：固定正整数集 $A_1,..., A_k$，并假设对所有 $n$、所有 $i$，$s_i(n)$ 在 $\{1,..., n\}$ 上所有圈长均属于 $A_i$ 的置换集合上均匀分布。对一切正整数 $l$，我们将给出当 $n$ 趋于无穷时 $\sigma_n$ 的长度为 $l$ 的圈数 $N_l(\sigma_n)$ 的渐近性。我们亦考虑随机向量 $(N_1(\sigma_n),..., N_l(\sigma_n))$ 的联合分布。我们首先证明 $w$ 在以 $g_1,..., g_k$ 为生成元的自由群的某个商中的阶决定了随机变量 $N_l(\sigma_n)$ 当 $n$ 趋于无穷时的增长率。我们还证明在许多情形下 $N_l(\sigma_n)$ 的分布收敛于参数为 $1/l$ 的 Poisson 律，且随机变量 $N_1(\sigma_n),N_2(\sigma_n), ...$ 渐近独立。我们注意到一个令人惊讶的事实：从这一角度看，许多事情的发生就如同 $\sigma_n$ 在 $n$ 阶对称群上均匀分布一般。