对称群及类似半群的泛序列集合

群或半群 $S$ 的泛序列是一列字 $w_1, w_2, \ldots$，使得对任意序列 $s_1, s_2, \ldots\in S$，方程 $w_n = s_n$，$n\in \mathbb{N}$，可在 $S$ 中同时求解。例如，Galvin 证明了当 $X$ 为无限集时，序列 $(a^{-1}(a^nba^{-n})b^{-1}(a^nb^{-1}a^{-n})ba)_{n\in\mathbb{N}}$ 对对称群 Sym$(X)$ 是泛的；Sierpi\'nski 证明了 $(a ^ 2 b ^ 3 (abab ^ 3) ^ {n + 1} ab ^ 2 ab ^ 3)_{n\in \mathbb{N}}$ 对从无限集 $X$ 到自身函数构成的幺半群 $X ^ X$ 是泛的。本文中，我们证明在某些条件下，无限集 $X$ 上对称群的泛序列集合与 $X$ 的基数无关。更确切地说，我们证明若 $Y$ 是任一满足 $|Y| \geq |X|$ 的集合，则 Sym$(X)$ 的每个泛序列对 Sym$(Y)$ 也是泛的。若 $|X| > 2 ^ {\aleph_0}$，则逆命题也成立。我们证明了在逆半群背景下该定理的一个类似结论成立，其中对称群的角色由对称逆幺半群扮演。在半群的一般背景下，全变换幺半群 $X ^ X$ 是对称群与对称逆幺群的自然类似物。若 $X$ 和 $Y$ 为任意无限集，则任一对 $X ^ X$ 泛的序列是否也对 $Y ^ Y$ 泛的仍是一个开放问题。然而，我们得到了序列对 $X ^ X$ 泛的一个充分条件，其不依赖于 $X$ 的基数。一大类序列满足该条件，因而对每一个无限集 $X$ 都是 $X ^ X$ 泛的。