无限对称逆幺半群的子幺半群

本文研究当 $X$ 为无限集时，对称逆幺半群 $I_X$（即 $X$ 的子集之间双射构成的逆半群）的子半群结构。我们探索了三种不同的研究方法。首先，我们对包含 $X$ 上对称群的某些子群的 $I_X$ 的极大子半群进行了分类。所涉及的子群包括对称群本身、$X$ 的有限非空子集的逐点稳定子、$X$ 上超滤子的稳定子以及 $X$ 的有限划分的稳定子。其次，我们研究了在 Elliot 等人于 2023 年引入的 $I_X$ 上的半群拓扑下为闭集的 $I_X$ 的子半群。我们发现，在这些拓扑中包含 $I_X$ 所有幂等元的闭子半群，恰好与定义在 $X$ 上的关系结构的部分自同态和部分自同构半群相一致。此外，我们证明，如果可数集 $X$ 上的关系结构 $R$ 仅包含有限个关系，则存在 $I_X$ 的一个有限子集 $U$，使得 $R$ 的部分自同构与 $U$ 的并集生成整个 $I_X$。最后，我们在 George Bergman 和 Saharon Shelah 于 2006 年为对称群引入的预序下研究 $I_X$ 的子半群结构。将此预序扩展到 $I_X$，若 $S_1$ 和 $S_2$ 是 $I_X$ 的子半群，如果存在 $I_X$ 的一个有限子集 $U$，使得 $S_1$ 包含于由 $S_2$ 和 $U$ 的并集生成的半群中，则称 $S_1 \preccurlyeq S_2$。我们根据 Bergman-Shelah 预序对 $I_X$ 的某些类型的子半群进行了分类，并提出了一个类似于 Bergman 和 Shelah 主要结果的猜想。