持久图嵌入可分希尔伯特空间的度量畸变研究
机器学习
2019-08-09 v3 计算几何
代数拓扑
机器学习
摘要
持久图是拓扑数据分析中的重要描述子。由于配备其{\em 图距离}的持久图空间的非线性，最近大多数在机器学习中使用持久图的尝试都是通过核方法完成的，即把持久图嵌入到再生核希尔伯特空间中，在其中所有计算都可轻松进行。由于持久图对其图距离享有理论稳定性保证，特征映射的{\em 度量性质}，即希尔伯特距离与图距离之间的关系，对于理解持久图保证是否延续到嵌入中至关重要。在本文中，我们研究将持久图以双 Lipschitz 映射嵌入可分希尔伯特空间的可能性。特别地，我们表明对于文献中定义的若干嵌入无限维希尔伯特空间的稳定嵌入，任何下界都必须依赖于持久图的基数；并且当希尔伯特空间为有限维时，即使限制持久图具有有界基数，找到双 Lipschitz 嵌入也是不可能的。
引用
@article{arxiv.1806.06924,
title = {On the Metric Distortion of Embedding Persistence Diagrams into separable Hilbert spaces},
author = {Mathieu Carriere and Ulrich Bauer},
journal= {arXiv preprint arXiv:1806.06924},
year = {2019}
}
备注
Small change in proof of Lemma 3.4